第七次翻转课堂草稿

1 思考题

1.1 单边 z 变换和双边 z 变换都是如何定义的？z 和 s 的关系是什么？

z 变换的引入、z 和 s 的关系
- $f_\text s(t) = f(t) \delta_T(t) = \nsuminf f(nT) \delta(t - n_T)$ .
- $F_\text s(s) = \inti \nsuminf f(nT) \delta(t - nT) \e^{-st} \dt = \nsuminf f(nT) \e^{-snT}$ .
- $z = \e^{sT}$ $F(z) := F_\text s(s) = \nsuminf f(nT) z^{-n}$ .
单边 z 变换
- $\cal Z\bqty{f(n)} = \cal Z_R\bqty{f(n)} = \nosum f(n) z^{-n}$ .
- $\cal Z_L\bqty{f(n)} = \dsum_{n=-\infty}^{-1} f(n) z^{-n} = \nsum f(-n) z^n$ .
双边 z 变换
- $F(z) = \cal Z_B \bqty{f(n)} = \nsuminf f(n) z^{-n}$ .
- $\cal Z_B\bqty{f(n)} = \cal Z\bqty{f(n)} + \cal Z_L\bqty{f(n)}$ .

1.2 收敛域是如何定义的？对应于不同的序列，z 变换的收敛域有哪几种情况？

使 z 变换的级数收敛的点集称为收敛域（region of convergence, ROC）

无限长右边序列（因果序列）
- $a^n u(n) \bzt \dfrac{z}{z - a}$ .
- $\rm{ROC} \colon \vqty{z} > \vqty{a}$ .
无限长左边序列（反因果序列）
- $-a^n u(-n - 1) \bzt \dfrac{z}{z - a}$ .
- $\rm{ROC} \colon \vqty{z} < \vqty{a}$ .
无限长双边序列
- $a^n u(n) - b^n u(-n-1) \bzt \dfrac{z (a - b)}{(z - a) (z - b)}$ .
- $\rm{ROC} \colon \vqty{a} < \vqty{z} < \vqty{b}$ .
有限长序列
- $f(n) \bzt \dsum_{n=n_1}^{n_2} f(n) z^{-n}$ .
- $\rm{ROC} \colon \begin{cases} 0 < \vqty{z} < \infty, & n_1 < 0 < n_2, \\ \vqty{z} > 0, & 0 \le n_1 < n_2, \\ \vqty{z} < \infty, & n_1 < n_2 \le 0. \end{cases}$

1.3 给出几种典型序列的 z 变换。

常用的离散序列

$f(n)$	$F(z)$	收敛域	参数说明
$\delta(n)$	$1$	$\C$
$u(n)$	$\dfrac{z}{z - 1}$	$\vqty{z} < 1$
$a^n u(n)$	$\dfrac{z}{z - a}$	$\vqty{z} > \vqty{a}$	$a \in \C$
$n \cdot u(n)$	$\dfrac{z}{(z - 1)^2}$	$\vqty{z} < 1$
$n^2 \cdot u(n)$	$\dfrac{z (z + 1)}{(z - 1)^3}$	$\vqty{z} < 1$
$a^\vqty{n}$	$\dfrac{z}{z - a} + \dfrac{a}{z\inv - a}$	$a < \vqty{z} < a\inv$	$a < 1$

三角与双曲三角

$f(n)$	$F(z)$	收敛域	参数说明
$\cos(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z (z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z \cos\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\sin(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z \sin\omega_0}{z^2 - 2z \cos\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\cosh(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z (z - \cosh\omega_0)}{z^2 - 2z \cosh\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$
$\sinh(\omega_0 n) u(n)$	$\dfrac{z \sinh\omega_0}{z^2 - 2z \cosh\omega_0 + 1}$	$\vqty{z} > 1$	$\omega_0 \in \R$

$\vqty{z} > \vqty{a}$ 时）

\begin{array}{rclrcl} \frac{z}{z - a} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} u (n), & \frac{1}{z - a} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 1} u (n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{2}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 1} n \cdot u (n), & \frac{1}{(z - a)^{2}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - 2} (n - 1) u (n - 1), \\ \frac{z}{(z - a)^{k + 1}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - k} (\binom{n}{k}) u (n), & \frac{1}{(z - a)^{k}} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n - k} (\binom{n - 1}{k - 1}) u (n - 1) \\ {(\frac{z}{z - a})}^{k} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} \frac{(n + k)_{(k)}}{n!} u (n), & {(\frac{z + a}{z})}^{k} & \overset{Z}{\leftrightarrow} & a^{n} (\binom{k}{n}) u (n - k) . \end{array}

1.4 z 变换有哪些基本性质？

性质 1 (线性性质) $f_1(t) \zt F_1(z), f_2(t) \zt F_2(z)$ $\forall k_1, k_2 \in \C$ ，有

k_{1} f_{1} (t) + k_{2} f_{2} (t) \overset{Z}{\leftrightarrow} k_{1} F_{1} (z) + k_{2} F_{2} (z) .

备注

该性质对于双边、左边、右边 z 变换都是成立的.
叠加后的收敛域一般为原收敛域的重叠部分；当零极点相消时，收敛域也可能扩大.

性质 2.1 (双边位移性质) $f(n) \bzt F(z)$ $\forall m \in \Z$ ，有

f (n - m) \overset{Z_{B}}{\leftrightarrow} z^{- m} F (z) .

双边性质推论 $f(n) \bzt F(z)$ $\forall m \in \N$ ，有

f (n - m) = f (n - m) u (n - m) \overset{Z}{\leftrightarrow} z^{- m} F (z) .

性质 2.2 (单边位移性质) $f(n) u(n) \zt F(z)$ ，则

$f(n + 1) u(n) \zt z \bqty{F(z) - f(0)}$ .
$f(n - 1) u(n) \zt z\inv F(z) + f(-1)$ .

推论 1 $f(n) u(n) \zt F(z)$ $\forall m \in \N$ ，有

$f(n + m) u(n) \zt z^m F(z) - \dsum_{k=0}^{m-1} f(k) z^{m-k}$ .
$f(n - m) u(n) \zt z^{-m} F(z) + \dsum_{k=0}^{m-1} f(k - m) z^{-k}$ .
$f(n - m) u(n) \zt z^{-m} F(z) + \dsum_{k=-m}^{-1} f(k) z^{-m-k}$ .
$f(n - m) u(n) \zt z^{-m} F(z) + \dsum_{k=1}^{m} f(-k) z^{-(m-k)}$ .

推论 2 $f(n)$ $\forall m \in \N$ $f(n - m) u(n) \zt \dfrac{F(z)}{z^m}$ .

例子

$f(n + 2) u(n) \zt z^2 F(z) - z^2 f(0) - z f(1)$ .
$f(n-2) u(n) \zt z^{-2} F(z) + z\inv f(-1) + f(-2)$ .

性质 3 (尺度性质 / 序列指数加权) $f(n) \zt F(z)$ $\forall a \ne 0$ ，有

a^{n} f (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} F (\frac{z}{a}) .

备注该性质对于双边、左边、右边 z 变换均成立.

推论

$a^{-n} f(n) \zt F(az)$ .
$(-1)^n f(n) \zt F(-z)$ .

性质 4 (微分性质 / 序列线性加权) $f(n) \zt F(z)$ ，则

n f (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} - z \frac{d}{d z} F (z) .

备注该性质对于双边、左边、右边 z 变换均成立.

性质 5.1 (时域卷积) $f_1(n) \zt F_1(z), f_2(n) \zt F_2(z)$ ，则

f_{1} (n) * f_{2} (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} F_{1} (z) \cdot F_{2} (z) .

备注该性质对于双边、左边、右边 z 变换均成立.

性质 5.2 (频域卷积) $f_1(n) \zt F_1(z), f_2(n) \zt F_2(z)$ ，则

\begin{aligned} f_{1} (n) f_{2} (n) & \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{1}{2 π j} \oint_{C_{1}} F_{1} (\frac{z}{v}) F_{2} (v) \frac{d v}{v} \\ = \frac{1}{2 π j} \oint_{C_{2}} F_{1} (v) F_{1} (\frac{z}{v}) \frac{d v}{v} . \end{aligned}

$C_1$ $F_1\pqty{\dfrac{z}{v}}$ $F_2(v)$ 收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线.

性质 6 (特值定理) $f(n) \zt F(z)$ $f(\infty)$ 收敛，则

$f(0) = \clim z F(z)$ .
$f(\infty) = \liml_{z \to 1} (z - 1) F(z)$ .

备注

$\nlim \dfrac{1}{n} \knsum f(k) = f(\infty)$ ，证明见随机过程笔记定理 3.3.6 的引理.
终值定理连同上述等式为实分析中的结果，由 Hardy 与 Littlewood 给出.
终值定理的另一种形式，可用于证明马尔科夫链笔记中的定理 3.3.5.

1.5 可以利用 z 变换的哪一种性质求解差分方程？

求解零状态系统的差分方程可分为两步：

求解单位样值响应：利用线性性质和时移性质；
求解零状态响应：利用时域卷积定理.

此外也可直接对差分方程两边作 z 变换，于是只需要用到时移性质.

而在求解序列的 z 变换时，可能还会用到其它性质辅助求解.

1.6 序列指数加权和序列线性加权分别是指什么？

见问题四，这里简述如下：

$a^n f(n) \zt F\pqty{\dfrac{z}{a}}$ .
$n f(n) \zt -z \ddv{z} F(z)$ .

1.7 简述 z 变换的初值定理和终值定理？

$f(n) \zt F(z)$ $f(\infty)$ 收敛，则

$f(0) = \clim z F(z)$ .
$f(\infty) = \liml_{z \to 1} (z - 1) F(z)$ .

1.8 终值定理的应用条件是什么？

$f(\infty)$ 收敛.

2 练习题

2.1

这里不使用结论，而从定义出发，在推导的过程中得出收敛域：

f (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(3 z)^{n}} = \frac{3 z}{3 z - 1}, ROC : | z | > \frac{1}{3} .

2.2

同上：

f (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} \sum_{n = - \infty}^{- 1} {(\frac{z}{2})}^{- n} = \frac{z}{2 - z}, ROC : | z | < 2.

2.3

即 2.1 和 2.2 的交集：

\begin{aligned} x (n) & \overset{Z}{\leftrightarrow} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(3 z)^{n}} + \sum_{n = - \infty}^{- 1} {(\frac{z}{2})}^{n} \\ = \frac{3 z}{3 z - 1} + \frac{z}{2 - z}, ROC : \frac{1}{3} < | z | < 2. \end{aligned}

2.4

先推导指数序列的 z 变换及其收敛域：

\begin{array}{rcll} a^{n} u (n) & \overset{Z}{\leftrightarrow} & \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{a}{z})}^{n} = \frac{z}{z - a}, ROC : | z | > | a |, \\ \cos (ω_{0} n) u (n) & = & \frac{e^{j ω_{0} n} + e^{- j ω_{0} n}}{2} \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{1}{2} (\frac{z}{z - e^{j ω_{0}}} + \frac{z}{z - e^{- j ω_{0}}}) \\ = & \frac{z (z - \cos ω_{0})}{z^{2} - 2 z \cos ω_{0} + 1}, ROC : | z | > 1, \\ \sin (ω_{0} n) u (n) & = & \frac{e^{j ω_{0} n} - e^{- j ω_{0} n}}{2} \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{1}{2} (\frac{z}{z - e^{j ω_{0}}} - \frac{z}{z - e^{- j ω_{0}}}) \\ = & \frac{z \sin ω_{0}}{z^{2} - 2 z \cos ω_{0} + 1}, ROC : | z | > 1. \end{array}

2.5

$a^n f(n) \zt F\pqty{\dfrac{z}{a}}$ ，有

\begin{aligned} β^{n} \cos (n ω_{0}) u (n) & \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{z (z - β \cos ω_{0})}{z^{2} - 2 β z \cos ω_{0} + β^{2}}, ROC : | z | > | β |, \\ β^{n} \sin (n ω_{0}) u (n) & \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{β z \sin ω_{0}}{z^{2} - 2 β z \cos ω_{0} + β^{2}}, ROC : | z | > | β | . \end{aligned}

2.6

$a^n u(n) \zt \dfrac{z}{z - a}, \vqty{z} > \vqty{a}$ （等比数列求和公式）

$n f(n) \zt -z \ddv{z} F(z)$ ，有

n a^{n} u (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{a z}{(z - a)^{2}}, ROC : | z | > | a | .

$n \cdot u(n) \zt \dfrac{z}{(z - 1)^2}, \vqty{z} > 1$ （差比数列求和公式；或者使用幂级数逐项求导法）

$a^n f(n) \zt F\pqty{\dfrac{z}{a}}$ ，有

n a^{n} u (n) \overset{Z}{\leftrightarrow} \frac{a z}{(z - a)^{2}}, ROC : | z | > | a | .

2.7

思路一：部分分式展开后计算 z 逆变换（计算量大，根式繁多）

思路二：利用 z 变换定义和幂级数展开（求导法）

思路三：利用 z 变换定义和幂级数展开（长除法）

$x(n)$ $x(0) = 0, x(1) = 1$ .

3 代码

3.1.3


1
flist = {
2
    {UnitStep[n], n, z},
3
    {E^(-\[Alpha] n), n, z},
4
    {Sin[\[Alpha] n], n, z},
5
    {n^3 + 3 n + 1, n, z},
6
    {n^k, n, z},
7
    {ChebyshevU[n, x], n, z},
8
    {a^n Cos[Pi n], n, z},
9
    {(m + 1) (n - m), {m, n}, {u, v}},
10
    {a^n m^3, {m, n}, {u, v}}
11
};
12
Grid[
13
    Join[
14
        {{f, Text["Z-Transform"]}},
15
        Transpose[{
16
            flist[[;; , 1]],
17
            Map[ZTransform @@ # &, flist]
18
        }]
19
    ], 
20
    Background -> {
21
        None, {{None, GrayLevel[.9]}}, {
22
            {1, 1} -> Hue[.6, .4, 1],
23
            {1, 2} -> Hue[.6, .4, 1]
24
        }
25
    },
26
    BaseStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12},
27
    Dividers -> All,
28
    FrameStyle -> Hue[.6, .4, .8], 
29
    Spacings -> {2, 1}
30
] // TraditionalForm

\begin{array}{cc} f & Z-Transform \\ θ (n) & \frac{z}{z - 1} \\ e^{α (- n)} & \frac{e^{α} z}{e^{α} z - 1} \\ \sin (α n) & \frac{z (α \sin)}{z^{2} - 2 z (α \cos) + 1} \\ n^{3} + 3 n + 1 & \frac{z (z^{3} + z^{2} + z + 3)}{(z - 1)^{4}} \\ n^{k} & Φ (\frac{1}{z}, - k, 0) \\ U_{n} (x) & \frac{z^{2}}{- 2 x z + z^{2} + 1} \\ a^{n} ((π n) \cos) & \frac{z}{a + z} \\ (m + 1) (n - m) & \frac{u^{3} v - 2 u^{2} v^{2} + u^{2} v}{(u - 1)^{3} (v - 1)^{2}} \\ m^{3} a^{n} & \frac{u (u^{2} + 4 u + 1) v}{(u - 1)^{4} (v - a)} \end{array}

3.2.1


x
1
(* 求解 z 变换及其收敛域 *)
2
X[z_] := ZTransform[3^-n UnitStep[n], n, z, GenerateConditions -> True]
3
(* 绘制收敛域的图像 *)
4
With[{z = u + I v}, RegionPlot[Abs[z] > 1/3, {u, -1, 1}, {v, -1, 1}]]
5
(* 绘制函数的幅角图 *)
6
ComplexPlot[X[z], {z, -1 - I, 1 + I}, ImageSize -> Small]

\frac{3 z}{3 z - 1} if | z | > \frac{1}{3}

3.2.2


x
1
(* 定义序列 *)
2
x[n_] := Which[
3
    n >= 0, 0,
4
    n < 0, 2^n
5
]
6
(* 求解 z 变换 *)
7
X[z_] := BilateralZTransform[
8
    x[n], n, z,
9
    GenerateConditions -> True
10
]
11
(* 绘制收敛域的图像 *)
12
With[
13
    {z = u + I v}, RegionPlot[Abs[z] < 2,
14
    {u, -3, 3}, {v, -3, 3}]
15
]
16
(* 绘制函数的幅角图 *)
17
ComplexPlot[X[z], {z, -1 - I, 1 + I}, ImageSize -> Small]

- \frac{z}{z - 2} if | z | < 2

3.2.3


x
1
(* 定义序列 *)
2
x[n_] := Which[
3
    n >= 0, 3^-n,
4
    n < 0, 2^n
5
]
6
(* 求解 z 变换 *)
7
X[z_] := BilateralZTransform[
8
    x[n], n, z,
9
    GenerateConditions -> True
10
]
11
(* 绘制收敛域 *)
12
With[
13
    {z = u + I v}, RegionPlot[1/3 < Abs[z] < 2,
14
    {u, -3, 3}, {v, -3, 3}]
15
]
16
(* 绘制函数幅角图 *)
17
ComplexPlot[X[z], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, ImageSize -> Small]

- \frac{5 z}{3 z^{2} - 7 z + 2} if \frac{1}{3} < | z | < 2

3.2.4


xxxxxxxxxx
4
1
ZTransform[
2
    Cos[n Subscript[\[Omega], 0]], n, z,
3
    GenerateConditions -> True
4
]

\frac{z (z - \cos (ω_{0}))}{z^{2} - 2 z \cos (ω_{0}) + 1} if Im (ω_{0}) = 0 \land | z | > 1

3.2.5


xxxxxxxxxx
4
1
ZTransform[
2
    \[Beta]^n Cos[n Subscript[\[Omega], 0]], n, z,
3
    GenerateConditions -> True
4
]

\frac{z (z - β \cos (ω_{0}))}{β^{2} + z^{2} - 2 β z \cos (ω_{0})} if Im (ω_{0}) = 0 \land | z | > | β |

3.2.6


xxxxxxxxxx
1
1
ZTransform[n a^n UnitStep[n], n, z, GenerateConditions -> True]

\frac{a z}{(a - z)^{2}} if | z | > | a |

3.2.7

使用思路一的 mathematica 代码


xxxxxxxxxx
1
1
Table[InverseZTransform[(z^2 + 2 z)/(z^3 + 0.5 z^2 - z + 7), z, n], {n, 0, 1}]

使用思路二的 mathematica 代码


xxxxxxxxxx
1
1
Table[Series[(2 z^2 + z)/(7 z^3 - z^2 + 0.5 z + 1), {z, 0, n}], {n, 0, 1}]

前两种思路的计算机求解在误差范围内与第三种方法是相同的.